Наименьшее значение функции y=5x-ln(x+8)^5 на отрезке [-7.5;0]
4.3
Ответить

Полное описание вопроса

Здравствуйте! Я хотел бы узнать, как найти наименьшее значение функции y=5x-ln(x+8)^5 на отрезке [-7.5;0]. Мне нужно решение этой задачи для 11 класса по математике. Буду благодарен за подробное объяснение.

Оценки ответов

4.3 /5

Рейтинг

Основано на ваших оценках

1
2

Ответы от экспертов

  • Владислав, 36 лет
    больше месяца

    Для нахождения наименьшего значения функции \( y=5x-\ln(x+8)^5 \) на отрезке \([-7.5;0]\) мы можем применить метод дифференцирования.

    1. Найдем производную функции \( y=5x-\ln(x+8)^5 \).
    \[
    y' = 5 - \frac{5 \cdot 5 \cdot (x+8)^4}{x+8} = 5 - 25 \cdot (x+8)^3
    \]

    2. Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
    \[
    5 - 25 \cdot (x+8)^3 = 0
    \]
    \[
    25 \cdot (x+8)^3 = 5
    \]
    \[
    (x+8)^3 = \frac{5}{25}
    \]
    \[
    (x+8)^3 = \frac{1}{5}
    \]
    \[
    x+8 = \sqrt[3]{\frac{1}{5}}
    \]
    \[
    x = \sqrt[3]{\frac{1}{5}} - 8
    \]

    3. Проверим, что это точка минимума, вычислив вторую производную:
    \[
    y'' = -75 \cdot (x+8)^2
    \]
    Подставляем \( x = \sqrt[3]{\frac{1}{5}} - 8 \) и получаем \( y'' < 0 \), что подтверждает, что это точка минимума.

    4. Найдем значение функции в этой точке:
    \[
    y = 5 \cdot (\sqrt[3]{\frac{1}{5}} - 8) - \ln((\sqrt[3]{\frac{1}{5}} - 8) + 8)^5
    \]

    Таким образом, наименьшее значение функции \( y=5x-\ln(x+8)^5 \) на отрезке \([-7.5;0]\) равно \( y = 5 \cdot (\sqrt[3]{\frac{1}{5}} - 8) - \ln((\sqrt[3]{\frac{1}{5}} - 8) + 8)^5 \).

  • Анжела, 51 лет
    больше месяца

    Для решения этой задачи нам необходимо найти производную функции y=5x-ln(x+8)^5. После этого приравнять производную к нулю и найти точку, в которой производная равна нулю. Это будет точка экстремума функции. Далее, чтобы убедиться, что это точка минимума, нужно найти вторую производную и проверить ее знак в найденной точке. Если вторая производная положительна, то это точка минимума. Подставив найденное значение x обратно в исходную функцию, мы получим значение y, которое и будет наименьшим на заданном отрезке.

  • Василий, 40 лет
    больше месяца

    Для нахождения наименьшего значения функции y=5x-ln(x+8)^5 на отрезке [-7.5;0] необходимо использовать метод дифференцирования. Найдем производную данной функции, приравняем ее к нулю и найдем точку экстремума. После этого проверим вторую производную в этой точке, чтобы убедиться, что это точка минимума. Подставив найденное значение x обратно в исходную функцию, мы получим наименьшее значение функции на заданном отрезке.

  • Оставить ответ

details-icon Похожие вопросы